Contenido del curso: Números Complejos, Exponenciales y Logaritmos

¿Qué es un número imaginario y cómo surge? ¿Qué es un número complejo y cómo surge? ¿Qué es un número complejo y cómo surge? Formas de expresión de un número complejo: binómica, polar, trigonométrica y exponencial: pasajes entre formas, demostraciones. Fórmula de Euler para la forma exponencial de un complejo. Ejercitación de pasajes entre formas. Operaciones de números complejos en forma binómica: suma, resta y multiplicación. Complejos conjugados: su representación gráfica en el plano complejo. Propiedades de los complejos conjugados. División de números complejos. Potencias de la unidad imaginaria i. Potencia cuadrática y cúbica de un complejo. Operaciones de números complejos en forma polar-trigonométrica: productos, cocientes y potencias. Fórmula de de Moivre. Operaciones de números complejos en forma polar-exponencial: productos, cocientes y potencias. Ejercicios combinados con complejos en forma exponencial, ecuaciones con variable compleja, etc.

La función exponencial básica y = a^x. Dominio y restricciones de la base a. Estudio de esta familia de funciones, su análisis gráfico. Transformaciones, reflexiones, expansiones y contracciones. Las cuatro gráficas básicas. La función exponencial generalizada: desplazamientos. Simulador: Funciones exponenciales. Problemas de aplicación con la función y = k . a^x: crecimiento de bacterias, potencia de una antena, etc. Otro caso más complejo. Ejemplo con tasa de interés: capital reinvertido continuamente; cómo se llega al número e. Otro problema importante: hallar k y a dados dos puntos de la función. Ejercitación de modelado de funciones exponenciales. Ecuaciones exponenciales: que se resuelven por comparación, con más de dos términos sacando factor común, por cambio de variables pasando a ecuación cuadrática y operando antes de llegar a la ecuación cuadrática.

Logaritmo, definición y cálculo de logaritmos mentalmente usando la definición y los conceptos de potencias y raíces sabidos. El logaritmo decimal y natural. Propiedades de los logaritmos: triviales e importantes: logaritmo del producto, del cociente y de las potencias. Comprobaciones numéricas y demostraciones teóricas de las propiedades. Logaritmo de una raíz. Descomponer y componer logaritmos. La función logarítmica. Simetría gráfica con la exponencial por ser su inversa. La familia de funciones y = log_a x. Dominio y restricciones al valor de la base a. Su análisis gráfico: transformaciones, reflexiones, expansiones y contracciones. Las cuatro gráficas básicas. La función logarítmica generalizada: desplazamientos y variación del dominio. Simulador: Funciones logarítmicas. Aplicaciones de la función logarítmica: los decibeles de intensidad sonora, la escala Richter de los terremotos, la escala del pH para medir la acidez de soluciones. Ejercitación de escalas logarítmicas. Ecuaciones exponenciales usando logaritmos. Problemas de aplicación. Ecuaciones logarítmicas: por definición, con varios logaritmos componiendo (y a veces, descomponiendo) con propiedades, con logaritmos en todos los términos resolviendo por comparación y con cambio de variable a cuadrática (y operando antes). Cambio de base en logarítmos: fórmula, usos y demostración. Ecuación logarítmica con cambio de base. Forma alternativa para el cambio de base. Cambio de base en exponenciales: generalizando las funciones exponenciales a base e. Forma generalizada de la función exponencial de base e. Generalizando el logaritmo a base e: logaritmo natural. Forma generalizada de la función logaritmo natural.